Коста Цонев е роден на 10 юни 1929 г. в София. Завършил е Държавното висше театрално училище (днес НАТФИЗ) през 1952 г. в класа на Стефан Сърчаджиев.

Бил е в трупата на Младежкия театър (1952-1966) и на Театър „София“ (1967-2000).

Има забележителни роли на сцената в „Както ви се харесва“ и „Ричард ІІІ“ от Шекспир, „Опера за три гроша“ от Б. Брехт, „Кралският бръснар“ от А. Луначарски „Каменният гост“ по Пушкин, „Първите“ от П.Ю. Тодоров и др.

Сред ролите му в Телевизионния театър незабравими ще останат мюзикълът „Човекът от Ла Манча“ от М. Лий, „Историята на един кон“ от Л. Толстой, „Майстори“ от Р. Стоянов, „Старчето и стрлелата“ от Н. Русев.

Изпълнил е общо над 70 роли в киното. Ролята на разузнавача Емил Боев в няколко филма по сценарии на Богомил Райнов му носи огромна популярност: „Господин Никой“ (1969), „Няма нищо по-хубаво от лошото време“ (1971), „Голямата скука“ (1973), „Реквием за една мръсница“ (1976), „Умирай само в краен случай“ (1978), „Тайфуни с нежни имена“ (1979).

Той дебютира в киното още като студент през 1951 г. в малката роля на немски офицер във филма „Тревога“, а след това изпълнява все централни роли в „Командирът на отряда“ (1959), „В тиха вечер“ (1960), „Бедната улица“ (1960), „Бъди щастлива, Ани“ (1961), „Баща ми бояджията“ (първият български филм мюзикъл), „Басейнът“ и мн. др.

В „Сватбите на Йоан Асен“ се снима в две роли, тъй като му се налага да замести починалия по време на снимките Апостол Карамитев в ролята на Йоан Асен, а изпълни и ролята на царския брат Александър.

Участвал е и в почти всички телевизионни сериали през миналия век: „На всеки километър“, „Демонът на империята“, „Изгори, за да светиш“, „По дирята на безследно изчезналите“, „Дом за нашите деца“, „Бащи и деца“, „Неизчезващите“ и др.

Носител е на всички високи държавни отличия за театър и кино.

През 2001 г. Коста Цонев реши да влезе в политиката като ентусиазиран привърженик на Симеон Сакскобугготски и бе избран за депутат от НДСВ в 39-ото Народно събрание. През 2005 г. отново беше избран за депутат от НДСВ.

Два пъти се е женил и развеждал с телевизионната говорителка Анахид Цонева (Тачева). Синът му Димитър, телевизионен журналист и продуцент, беше говорител на правителството на Сакскобургготски. Има и дъщеря Теодора, актриса. През последните години от живота си имаше брак с Елена. Брат на Коста Цонев е известният писател хуморист Васил Цонев (1925-2002).  Другият му брат отдавна е емигрирал в Австралия.

Коста Цонев издаде мемоарната книга „Дон Кихот от Красно село“.

През миналата година актьорът претърпя сърдечна операция, последвана от усложнения. Почти не излизаше от дома си. Удостоен бе с почетна награда „Аскеер“ за цялостно творчество през май 2011 г.

Поклонението пред паметта на Коста Цонев ще е в петък, 27 януари от 10 часа, в Народния театър „Иван Вазов“, съобщиха от семейството.